制御理論 — フィードバック・PID・フィードフォワード・PWM 制御

制御理論（Control Theory）は、系（プロセス）の出力を目標値（設定値）に追従させるための数学的・工学的理論体系であり、フィードバック機構による誤差の最小化と系の安定化を主要テーマとする。エアコンの温度制御からロボットの関節制御・電力変換器の電圧安定化まで、あらゆる自動制御システムの基盤となる。情報カットオフ〜2025-08、confidence: medium 固定。

制御系の基本概念

制御系は「制御対象（プロセス）」「コントローラ」「センサー」の 3 要素で構成される。

制御の目的

追値制御（Setpoint Tracking）：目標値が変化したとき、出力を素早く追従させる。
外乱抑制（Disturbance Rejection）：外部からの乱れ（外乱）が加わっても出力の変動を最小化する。
安定性（Stability）：制御入力を加えたとき系が発散せず、有界な出力に収束する。

基本用語

設定値（SP: Setpoint）：目標とする出力値。
制御量（PV: Process Variable）：センサーが測定する現在の出力値。
偏差（エラー、e）：e = SP - PV で定義される目標値との差。
操作量（MV: Manipulated Variable）：コントローラが制御対象に加える操作（例：加熱電力・モーター電流）。

フィードバック制御

フィードバック制御（閉ループ制御）は、出力を測定して制御入力に帰還（フィードバック）することで誤差を自動的に修正する方式。

負帰還（Negative Feedback）の働き

出力が目標値より大きい場合は操作量を減らし、小さい場合は増やす方向にフィードバックすることで誤差を縮小する。負帰還なしには外乱や設定値変化に対して系を安定させることができない。

閉ループ伝達関数

コントローラ C(s) と制御対象 P(s) が直列接続された閉ループ系の伝達関数は

G_cl(s) = C(s)・P(s) / (1 + C(s)・P(s))

で表される（s はラプラス変数）。分母の (1 + C(s)・P(s)) が閉ループ特性を決定し、この根（極）が複素平面の左半面に位置することが安定条件（ラウス・フルビッツの安定判別法）。

安定余裕（Stability Margin）

ゲイン余裕（Gain Margin）と位相余裕（Phase Margin）は、系が安定を保ちながら許容できるゲインの増大量・位相の遅れ量を示す。一般に位相余裕 ≥ 30°〜45°、ゲイン余裕 ≥ 6 dB が設計基準。

PID 制御

PID 制御は比例（P）・積分（I）・微分（D）の 3 つの演算を組み合わせた最も普及したコントローラであり、多くの実用制御システムで採用されている。

各項の役割

比例項 P（Proportional）：u_P = K_p・e。現在の偏差に比例した操作量を出力する。ゲインを大きくすると応答は速くなるが、振動しやすくなり、残留偏差（定常偏差）が残る。
積分項 I（Integral）：u_I = K_i・∫e dt。過去の偏差の累積から定常偏差をゼロにする効果がある（積分による定常偏差消去）。過積分（Integrator Windup）が生じると過渡応答が悪化するため、ワインドアップ防止（アンチワインドアップ）の実装が必要。
微分項 D（Derivative）：u_D = K_d・(de/dt)。偏差の変化率に比例した操作量を出力し、「将来の偏差の予測」として働く。応答の速い変化を先読みして振動を抑制する効果があるが、ノイズを増幅しやすいため、実装では低域通過フィルタと組み合わせる（フィルタード D）。

PID パラメータの調整（チューニング）

パラメータ（K_p, K_i, K_d）の調整方法にはジーグラー・ニコルス法（限界感度法・反応曲線法）、モデルベースの最適化、試行錯誤（マニュアルチューニング）がある。現代の制御器ではオートチューニング機能を持つ製品も多い。

フィードフォワード制御

フィードフォワード制御（開ループ制御）は、外乱や目標値変化を「事前に知って」操作量に加える方式。フィードバックと組み合わせると過渡応答を大幅に改善できる。

特徴と用途：センサーフィードバックを使わないため外乱モデルが正確なときにのみ有効。制御対象の数式モデル（伝達関数）が既知の場合、フィードフォワード補償器はその逆モデルで設計する。熱管理系・CNC 工作機械の先読み補正・電力変換器の電圧前置補正などに使われる。

フィードバック＋フィードフォワードの組み合わせ：フィードフォワードで大まかな操作量を与え、フィードバックで残留誤差を補正する構成が実用的。応答速度と外乱抑制の両立が可能。

PWM 制御

PWM（Pulse Width Modulation）制御は、一定周波数のパルス信号のデューティ比（パルス幅の割合）を変化させることで平均出力電力を制御する手法であり、デジタル出力でアナログ量を制御できる効率的な方式。

動作原理

スイッチング周期 T のうちオン時間 t_on の比率がデューティ比 D = t_on / T で、平均出力電圧 V_avg = D・V_supply となる。例えばデューティ比 50% のとき平均電圧は電源電圧の 50%。

モーター制御への適用：PWM デューティを変化させることで DC モーターの平均印加電圧を制御し、回転速度を調整する。インバータでは三相 PWM を使ってモーターへの等価交流電圧を生成する（SPWM・SVPWM）。

電源制御への適用：スイッチング電源（DC-DC コンバータ）ではトランジスタのスイッチングデューティで出力電圧を制御する。AC 系（tech-338）では PWM インバータが AC 波形を合成し、THD（全高調波歪み）低減のために変調周波数・変調方式を最適化する。

PWM 周波数と電磁ノイズ：PWM 周波数を高くすると平滑フィルタを小型化できるが、スイッチング損失とノイズ（EMI）が増加する。SiC/GaN パワーデバイスは高周波スイッチングに優れ、近年の電力変換器で採用が進んでいる。

情報カットオフ〜2025-08、confidence: medium 固定。

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